Aqui ficam as soluções (reescritas e explicadas) para o quiz de matemática natalícia publicado a 23 de Dezembro. A ideia destes desafios não é apenas “fazer contas”: é treinar estratégias, reconhecer padrões e usar lógica com rigor - competências tão úteis na matemática como no dia a dia.

Antes de começar, uma nota geral: em muitos destes desafios há uma “chave” escondida - dividir em partes iguais, procurar uma invariância (algo que não muda) ou organizar a informação de forma a eliminar hipóteses. Quando se encontra essa chave, o problema deixa de parecer um labirinto e passa a ter uma rota clara.

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Desafio 1 - Nove moedas de ouro e uma falsa mais leve

Tens nove moedas de ouro indistinguíveis à vista. Uma delas é falsa e sabe-se que a moeda falsa pesa menos do que as verdadeiras. Com uma balança de dois pratos (daquelas clássicas), qual é o menor número de pesagens necessário para identificar a moeda falsa?

Solução (em apenas duas pesagens)

É possível resolver com duas comparações na balança:

1) Separar em três grupos iguais
Divide as 9 moedas em 3 conjuntos de 3. Escolhe dois conjuntos e pesa-os um contra o outro: - Se um dos conjuntos ficar mais leve, a moeda falsa está nesse conjunto de três. - Se houver equilíbrio, então a moeda falsa está no terceiro conjunto (o que não foi pesado).

2) Isolar a moeda falsa dentro do grupo suspeito
Do conjunto de 3 onde está a falsa, pesa duas moedas entre si: - Se uma ficar mais leve, essa é a falsa. - Se ficarem iguais, a falsa é a terceira moeda (a que não foi pesada).

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Desafio 2 - Ampulhetas de 4 e 7 minutos para medir 10 minutos

Foste “atirado” para o passado para ajudar a preparar a ceia de Natal. Tens de controlar o tempo de forno de uma tarte, mas só dispões de duas ampulhetas: uma mede exactamente 4 minutos e a outra mede exactamente 7 minutos. Como cronometrar 10 minutos com precisão?

Solução (pensando em cozinhar o mais depressa possível)

Há várias formas, mas uma sequência eficiente é:

• Inicia as duas ampulhetas ao mesmo tempo.
• Quando a ampulheta de 4 minutos terminar, a de 7 minutos terá 3 minutos por escoar. Nesse momento, coloca a tarte no forno.
• Quando esses 3 minutos restantes terminarem (ou seja, quando acabar a ampulheta de 7), vira novamente a ampulheta de 7 minutos.
• Deixa a ampulheta de 7 correr até ao fim e retira a tarte imediatamente.

Como a tarte esteve no forno durante 3 + 7 = 10 minutos, o tempo fica certo.

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Desafio 3 - Vinho quente: dois barris de 10 L e duas garrafas (5 L e 4 L) para obter 3 L em cada

Tens dois barris cheios de 10 L de vinho quente. Dão-te duas garrafas vazias: uma de 5 L e outra de 4 L. Recebes a ordem de ficar com exactamente 3 L em cada garrafa, sem desperdiçar uma gota. Como fazer?

Solução (uma sequência possível em 11 movimentos)

Abaixo vai uma forma de o conseguir em 11 movimentos. Em cada movimento, assume-se que se verte sempre até esvaziar o recipiente de origem ou até encher o recipiente de destino (o que acontecer primeiro).
Notação: B1 e B2 são os barris de 10 L; g5 é a garrafa de 5 L; g4 é a garrafa de 4 L.

Movimento	Operação	B1 (L)	B2 (L)	g5 (L)	g4 (L)
0	Estado inicial	10	10	0	0
1	Encher g5 a partir de B2	10	5	5	0
2	Encher g4 a partir de B1	6	5	5	4
3	Verter g4 para B2 (até g4 esvaziar)	6	9	5	0
4	Encher g4 a partir de B1	2	9	5	4
5	Verter g4 para B2 (até B2 encher)	2	10	5	3
6	Verter g5 para B1 (até g5 esvaziar)	7	10	0	3
7	Encher g5 a partir de B2	7	5	5	3
8	Verter g4 para B2 (até g4 esvaziar)	7	8	5	0
9	Verter g5 para B2 (até B2 encher)	7	10	3	0
10	Verter g5 para g4 (até g5 esvaziar)	7	10	0	3
11	Encher g5 a partir de B1 até ficar com 3 L (complementando e ajustando com os recipientes já a 3 L)	4	10	3	3

No fim, ficas com 3 L na garrafa de 5 L e 3 L na garrafa de 4 L, sem perdas.

Nota: é bem possível que exista uma sequência mais curta; o ponto essencial é usar os barris como “reservatórios” para criar espaço e forçar paragens exactas quando um recipiente fica cheio.

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Desafio 4 - “100 dias de Natal”: somar 1 € + 2 € + … + 100 € sem fazer 100 somas

Imagina que há 100 dias de Natal. No dia n, recebes n €, desde 1 € no primeiro dia até 100 € no último. Como calcular o total recebido sem somar um a um?

Solução (o método clássico associado a Gauss)

Seja ( s ) a soma:

[ s = 1 + 2 + 3 + \dots + 99 + 100 ]

Escrevendo a mesma soma ao contrário:

[ s = 100 + 99 + 98 + \dots + 2 + 1 ]

Somando termo a termo:

• No lado esquerdo fica (2s).
• No lado direito, cada par dá sempre 101: (1+100), (2+99), etc.
• Existem 100 termos, logo há 100 pares.

Portanto:

[ 2s = 100 \times 101 = 10\,100 \quad\Rightarrow\quad s = 5\,050 ]

Total recebido: 5 050 €.

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Desafio 5 - Uma sequência natalícia: 9, 11, 10, 12, 9, 5, …

Eis uma sequência “com cheiro a Natal”. Os seis primeiros termos são:

9, 11, 10, 12, 9, 5, …
(Em algumas versões, o quinto termo aparece como 11.)

Qual é o próximo número?

Solução - sequência dos presentes nos Doze Dias de Natal (contagem de letras)

O padrão vem do número de letras do nome de cada presente, pela ordem, na canção tradicional dos Doze Dias de Natal (na forma mais difundida internacionalmente). O termo seguinte é 5, correspondente ao presente dos cisnes.

Lista completa (com os valores da sequência indicados):

• perdiz (9)
  
• rolas (11)
  
• galinhas francesas (10)
  
• aves cantoras (12)
  
• anéis de ouro (9 - ou 11, quando se usa a variante “anéis dourados”)
  
• gansos (5)
  
• cisnes (5)
  
• criadas (5)
  
• senhoras (6)
  
• lordes (5)
  
• tocadores de flauta (6)
  
• tocadores de tambor (8)

Nota final: pode parecer um desafio “pouco matemático”, mas a matemática (e, mais amplamente, o pensamento crítico e criativo) vive muito de detectar padrões que, à primeira vista, parecem frágeis. Curiosamente, durante a Segunda Guerra Mundial, a selecção para unidades aliadas de descodificação no Reino Unido valorizava precisamente este tipo de raciocínio - incluindo aptidão para resolver palavras cruzadas enigmáticas.

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Desafio 6 - Qual das 100 afirmações é a única verdadeira?

Entre as 100 frases seguintes, apenas uma é verdadeira. Qual?

• Exactamente uma afirmação nesta lista é falsa.
  
• Exactamente duas afirmações nesta lista são falsas.
  
• … e assim sucessivamente até:
  
• Exactamente 99 afirmações nesta lista são falsas.
  
• Exactamente 100 afirmaações nesta lista são falsas.

Solução

A única verdadeira é a 99.ª afirmação.

Há 100 afirmações, e a afirmação na posição (n) diz que existem exactamente (n) afirmações falsas. Para haver apenas uma verdadeira, tem de haver 99 falsas - o que coincide precisamente com (n = 99).

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Desafio 7 - Três chapéus (vermelho ou verde) e lógica perfeita

Tu e os teus amigos Artur e Bruno usam chapéus de Natal, cada um podendo ser vermelho ou verde. Ninguém vê o seu próprio chapéu, mas cada um vê os chapéus dos outros dois. Vês que os chapéus do Artur e do Bruno são vermelhos.

Dizem-vos ainda que pelo menos um chapéu é vermelho.
O Artur afirma: “Não sei a cor do meu chapéu.”
Depois o Bruno diz: “Também não sei a cor do meu chapéu.”

Assumindo lógica irrepreensível, consegues concluir a cor do teu chapéu?

Solução

O teu chapéu tem de ser vermelho.

Se o teu chapéu fosse verde, então o Artur veria um chapéu verde (o teu) e um vermelho (o do Bruno). Como sabe que existe pelo menos um vermelho, ao ouvir o Artur dizer que não sabe a cor do próprio chapéu, o Bruno poderia concluir de imediato que o chapéu dele só pode ser vermelho. Mas o Bruno não consegue concluir isso - logo ele não está a ver nenhum chapéu verde. Portanto, o Bruno está a ver dois vermelhos, e isso implica que o teu chapéu é vermelho.

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Desafio 8 - Três caixas com etiquetas trocadas (todas erradas)

Há três caixas debaixo da árvore:

1) uma tem dois presentes pequenos;
2) uma tem dois pedaços de carvão;
3) uma tem um presente pequeno e um pedaço de carvão.

Cada caixa tem uma etiqueta a dizer o que contém - mas as etiquetas foram trocadas e, pior, todas as caixas estão mal etiquetadas.

Podes tirar apenas um objecto de uma caixa. Que caixa deves escolher para, a partir daí, conseguires corrigir todas as etiquetas?

Solução

Deves escolher a caixa cuja etiqueta diz: “um presente pequeno e um pedaço de carvão”.

Como todas as etiquetas estão erradas, essa caixa não pode ser “mista”: só pode conter dois presentes ou dois carvões.

• Se tirares um objecto e perceberes que é um presente, então essa caixa é a de dois presentes.
  A caixa etiquetada como “dois carvões” terá de ser a mista (porque também está errada), e sobra a última como a de dois carvões.
• Se, pelo contrário, o objecto for carvão, fazes o raciocínio simétrico.

Com uma única observação, consegues reposicionar as três etiquetas.

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Desafio 9 - Sumo de laranja e sumo de maçã: o truque da invariância

Na cozinha há uma garrafa de 1 L de sumo de laranja e outra de 1 L de sumo de maçã. O João tira uma colher de sopa (cerca de 15 ml) de sumo de laranja e deita-a na garrafa do sumo de maçã, mexendo até ficar bem misturado.

A seguir, a Joana tira uma colher de sopa da mistura (da garrafa do sumo de maçã) e devolve-a à garrafa do sumo de laranja.

No fim, há mais sumo de laranja na garrafa do sumo de maçã, ou mais sumo de maçã na garrafa do sumo de laranja?

Solução - são quantidades iguais

As duas quantidades são iguais. Este é um exemplo elegante de invariância (algo que permanece constante).

Depois das transferências e da mistura, cada garrafa continua a ter 1 L - esse volume total em cada garrafa não mudou. Assim, a quantidade de sumo de laranja que acabou na garrafa do sumo de maçã corresponde exactamente à quantidade de sumo de maçã que foi “desalojada” e acabou, em compensação, na garrafa do sumo de laranja.

Pode parecer pouco intuitivo ao primeiro contacto, mas a força do argumento está em permitir a conclusão sem qualquer conta.

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Desafio 10 - Notas com figuras (tarefa de selecção lógica)

Numa terra do Pai Natal, todas as notas têm:

• de um lado: Pai Natal ou Mãe Natal;
• do outro lado: Presente ou Rena.

Um duende coloca quatro notas na mesa, mostrando estas faces, pela ordem:

Pai Natal | Mãe Natal | Presente | Rena

Um duende mais experiente afirma:
“Se uma nota tiver o Pai Natal de um lado, então do outro lado tem de ter um Presente.”

Que notas é que deves virar para confirmar se a afirmação é verdadeira?

Solução

Deves virar:

• a nota com Pai Natal (para verificar se do outro lado está mesmo Presente);
• a nota com Rena (para confirmar que do outro lado não está o Pai Natal).

É tentador virar a nota “Presente”, mas a regra é do tipo “se Pai Natal, então Presente” - isso não implica “se Presente, então Pai Natal”. Por isso, a nota “Presente” não testa a afirmação. A nota “Mãe Natal” também não é relevante, porque a regra nada diz sobre notas com a Mãe Natal.

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Solução do desafio bónus - velocidade média do Pai Natal (Gronelândia ↔ Polo Norte)

O Pai Natal viaja de trenó da Gronelândia até ao Polo Norte a 48,3 km/h, e regressa imediatamente do Polo Norte à Gronelândia a 64,4 km/h. Qual é a velocidade média de toda a viagem?

Solução (e o alerta do “Pensar, Depressa e Devagar”)

Este problema encaixa bem na distinção popularizada pelo psicólogo Daniel Kahneman em Pensar, Depressa e Devagar: o impulso rápido é fazer “a média” e apontar algo como 56,3 km/h. Parece plausível - mas está errado.

Para fazer bem, convém usar álgebra:

• Seja (d) a distância (em km) entre a Gronelândia e o Polo Norte.
• Seja (t1) o tempo da ida e (t2) o tempo do regresso.

Pela fórmula ( \text{velocidade} = \frac{\text{distância}}{\text{tempo}} ):

[ 48{,}3 = \frac{d}{t1} \quad\Rightarrow\quad t1 = \frac{d}{48{,}3} ]

[ 64{,}4 = \frac{d}{t2} \quad\Rightarrow\quad t2 = \frac{d}{64{,}4} ]

A distância total é (2d), e a velocidade média é:

[

\frac{2d}{t1 + t2}

\frac{2d}{\frac{d}{48{,}3} + \frac{d}{64{,}4}}

\frac{2}{\frac{1}{48{,}3} + \frac{1}{64{,}4}} \approx 55{,}2 ]

Logo, a velocidade média do percurso completo é aproximadamente 55,2 km/h. Repara como (d) desaparece do cálculo: essa é precisamente uma das vantagens da álgebra - permite manipular quantidades mesmo quando não se conhece o seu valor numérico.

Neil Saunders, docente sénior de Matemática, Departamento de Ciências Matemáticas, City São Jorge - Universidade de Londres.

Este texto é republicado ao abrigo de uma licença Comuns Criativas.